数学 › 関数解析と作用素論 › 作用素の収束と摂動

レイリー–シュレーディンガー級数の 2 次まで

命題 5.5（「作用素の収束と摂動」§5） ・ ✓公理まで証明済み

定理 5.4 の仮定のもとで m=1m = 1 とし、φ0\varphi_0 を AA の固有値 E0E_0 の単位固有ベクトル、Q0=1−⟨φ0,⋅ ⟩φ0Q_0 = 1 - \langle\varphi_0,\cdot\,\rangle\varphi_0、

S=∫σ(A)∖{E0}(λ−E0)−1 dEA(λ)(∥S∥≤1/d)S = \int_{\sigma(A)\setminus\{E_0\}} (\lambda - E_0)^{-1}\,dE_A(\lambda) \quad (\|S\| \le 1/d)

（簡約レゾルベント）とする。このとき κ→0\kappa \to 0 で

E(κ)=E0+κ ⟨φ0,Bφ0⟩−κ2 ⟨Bφ0,SBφ0⟩+O(κ3)E(\kappa) = E_0 + \kappa\,\langle\varphi_0, B\varphi_0\rangle - \kappa^2\,\langle B\varphi_0, S B\varphi_0\rangle + O(\kappa^3)

が成り立つ。さらに χ(κ)=P(κ)φ0/⟨φ0,P(κ)φ0⟩\chi(\kappa) = P(\kappa)\varphi_0 / \langle\varphi_0, P(\kappa)\varphi_0\rangle と置くと、厳密な等式 E(κ)=E0+κ⟨Bφ0,χ(κ)⟩E(\kappa) = E_0 + \kappa\langle B\varphi_0, \chi(\kappa)\rangle が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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