多重解像度解析からのウェーブレット基底

$(V_j,\varphi)$ を多重解像度解析とする。

1. $h_k=\langle\sqrt2\varphi(2\cdot-k),\varphi\rangle$ について $\varphi(x)=\sqrt2\sum_kh_k\varphi(2x-k)$（$L^2$ 収束、$\sum|h_k|^2=1$）で、$m_0(\xi)=\frac1{\sqrt2}\sum_kh_ke^{-ik\xi}\in L^2(\mathbb{T})$ は $\hat\varphi(2\xi)=m_0(\xi)\hat\varphi(\xi)$ と $|m_0(\xi)|^2+|m_0(\xi+\pi)|^2=1$（a.e.）を満たす。
2. $m_1(\xi)=e^{-i\xi}\overline{m_0(\xi+\pi)}$ とし、$\psi$ を $\hat\psi(2\xi)=m_1(\xi)\hat\varphi(\xi)$ で定めると、$\{\psi_{j,k}\}_{j,k\in\mathbb{Z}}$ は $L^2(\mathbb{R})$ の正規直交基底である。具体的には $\psi(x)=-\sqrt2\sum_k(-1)^k\overline{h_{1-k}}\,\varphi(2x-k)$（符号を反転した $-\psi$ も同じ性質をもつ）。