写像の相等と、関係が写像になる条件

$X, Y$ を集合とする。

1. 写像 $f, g : X \to Y$ について、$\Gamma_f = \Gamma_g$ と、すべての $x \in X$ で $f(x) = g(x)$ であることは同値である。
2. 関係 $R \subseteq X \times Y$ が $X$ から $Y$ への写像であるための必要十分条件は、全域的（すべての $x$ に対し $(x, y) \in R$ となる $y$ がある）かつ一価的（$(x, y), (x, y') \in R$ ならば $y = y'$）であることである。
3. 写像 $f : X \to Y$ について、逆関係 $\Gamma_f^{-1} = \{\, (y, x) \mid (x, y) \in \Gamma_f \,\} \subseteq Y \times X$ が一価的であることと $f$ が単射であることは同値であり、全域的であることと $f$ が全射であることは同値である。したがって $f$ が全単射であることは、$\Gamma_f^{-1}$ が $Y$ から $X$ への写像であることと同値で、そのとき $\Gamma_f^{-1} = \Gamma_{f^{-1}}$ である。