電磁ポテンシャルの存在

定理 3.1（「電磁ポテンシャルとゲージ変換」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega\subset\mathbb{R}^3$ を星形な開集合、 $I\subset\mathbb{R}$ を開区間とする。 $\Omega\times I$ 上の $C^2$ 級のベクトル場 $\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}$ が斉次マクスウェル方程式

\operatorname{div}\boldsymbol{B}=0,\qquad \operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}

を満たすとする。このとき $\Omega\times I$ 上の $C^1$ 級のスカラー場 $\varphi$ とベクトル場 $\boldsymbol{A}$ が存在して

\boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A},\qquad \boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}

が $\Omega\times I$ の全体で成り立つ。逆に、任意の $C^2$ 級の $(\varphi,\boldsymbol{A})$ からこの 2 式で $(\boldsymbol{E},\boldsymbol{B})$ を定めれば、斉次マクスウェル方程式は恒等的に満たされる。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。