形状作用素の性質

命題 4.2（「曲線と曲面」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A_p$ は自己随伴で、 $\langle Ax_i,x_j\rangle=h_{ij}$ 。したがって $A_p$ の固有値 $\kappa_1,\kappa_2$ は実数で、固有ベクトルは直交基底を成せる（系 4.3［スペクトル定理］）。
$K=\det(h_{ij})/\det(g_{ij})=\dfrac{LN_*-M^2}{EG-F^2}$ 。 $K$ は法線の向き（ $N\to-N$ ）によらない。
$N_i=-\sum_{k,l}h_{il}g^{lk}x_k$ （Weingarten の公式）。
単位速度曲線 $\gamma\subset S$ の接ベクトル $w=\gamma'$ について $\kappa_n:=\langle\gamma'',N\rangle=II(w,w)$ （法曲率）。特に $\kappa_n$ の最大・最小値が $\kappa_1,\kappa_2$ である（Euler の公式: $w$ が主方向 $e_1$ と角 $\theta$ をなすとき $\kappa_n=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta$ ）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。