メビウス変換の基本性質

メビウス変換全体のなす集合を $\mathcal{M}$ と書く。

1. $\mathcal{M}$ は写像の合成に関して群をなし、各元は $\hat{\mathbb{C}}$ から $\hat{\mathbb{C}}$ への全単射である。
2. 正則行列

に対し $T_A(z) = (az+b)/(cz+d)$ と定めると、$\Phi(A) = T_A$ で与えられる写像 $\Phi : GL_2(\mathbb{C}) \to \mathcal{M}$ は全射群準同型で、その核は $0$ でないスカラー行列全体である。したがって $\mathcal{M} \cong PGL_2(\mathbb{C})$。 3. 各メビウス変換は、平行移動 $z \mapsto z+\beta$、回転と拡大 $z \mapsto \alpha z$（$\alpha \neq 0$）、反転 $z \mapsto 1/z$ の有限個の合成として表せる。