距離空間の開集合族の性質

定理 3.3（「位相空間の定義と基本概念」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(X,d)$ を距離空間とし、 $\mathcal{O}_d$ を $d$ に関する開集合全体の族とします。このとき次が成り立ちます。

(O1) $\emptyset\in\mathcal{O}_d$ かつ $X\in\mathcal{O}_d$ 。
(O2) $\Lambda$ を任意の（有限とは限らない）添字集合とし、各 $\lambda\in\Lambda$ に対し $U_\lambda\in\mathcal{O}_d$ とすると、 $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\in\mathcal{O}_d$ 。
(O3) $n$ を自然数とし、 $U_1,\dots,U_n\in\mathcal{O}_d$ とすると、 $\bigcap_{k=1}^{n}U_k\in\mathcal{O}_d$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。