距離空間の開集合・閉集合

定義 3.1（「位相空間の定義と基本概念」§3）

$(X,d)$ を距離空間とします。部分集合 $U\subseteq X$ が $d$ に関する開集合であるとは、

\forall x\in U,\ \exists r>0,\quad B(x,r)\subseteq U

が成り立つことをいいます。すなわち $U$ のどの点も、 $U$ からはみ出さない余裕を持っているということです。補集合 $X\setminus F$ が開集合であるような $F\subseteq X$ を閉集合といいます。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。