ランダウ理論の臨界指数

上の $\psi$ について、次が成り立つ。

(i) $h=0$、$T>T_c$ では最小点は $m=0$ のみ。$T<T_c$ では最小点は $m=\pm m_0$、$m_0=\sqrt{\dfrac{a_0(T_c-T)}{2b}}$ の 2 つで、$m=0$ は極大点である。

(ii) $h=0$ での自由エネルギーは $f(T)=\psi_0(T)$（$T>T_c$）、$f(T)=\psi_0(T)-\dfrac{a_0^2(T-T_c)^2}{4b}$（$T<T_c$）。比熱 $c=-Tf''(T)$ は $T_c$ で $\Delta c=\dfrac{a_0^2T_c}{2b}$ だけ不連続に跳ぶ。

(iii) 磁化率 $\chi=\partial m/\partial h|_{h\to0}$ は、$T>T_c$ で $\dfrac{1}{2a_0(T-T_c)}$、$T<T_c$ で $\dfrac{1}{4a_0(T_c-T)}$。

(iv) $T=T_c$ の臨界等温線は $h=4bm^3$。

したがって臨界指数は $\beta=\frac12$（$m_0\propto(T_c-T)^{1/2}$）、$\alpha=0$（比熱の跳び）、$\gamma=\gamma'=1$、$\delta=3$ である。