エントロピーの定義の同値性

$\Sigma(E)$ が $E$ について $\Sigma(E) \propto E^{\alpha N}$ の形（$\alpha > 0$ は $N$ に依存しない定数）で書けるとする。$\Delta E$ が $\Delta E/E$ について $\ln(\Delta E/E) = O(\ln N)$ を満たす範囲にあるとき、三つの量

のうち、はじめの二つは互いに $O(k\ln N)$ しか違わない。$k\ln W$ との差は高々 $O(k\ln N) + O(kN\Delta E/E)$ である。したがって $\Delta E/E \ll 1$ であれば、1 粒子あたりの値は $N \to \infty$ で（$\Delta E/E$ の程度の誤差を除いて）一致し、$\Delta E/E \lesssim \ln N/N$ なら三つとも $O(k\ln N)$ しか違わない。