粒子浴の一次展開

補題 3.1（「グランドカノニカル集団」§3）・ ✓公理まで証明済み

浴 R が $N_R$ 個の粒子からなり、そのエントロピーが示量性

S_R(E, N) = N_R\,\sigma\!\left(\frac{E}{N_R}, \frac{N}{N_R}\right)

を満たすとする。ここで $\sigma$ は着目する点の近傍で 2 回連続微分可能で、 $\sigma$ とその 1 階・2 階偏導関数はその近傍で有界とする。浴の温度と化学ポテンシャルを

\frac{1}{T} = \left(\frac{\partial S_R}{\partial E}\right)_{N}, \qquad -\frac{\mu}{T} = \left(\frac{\partial S_R}{\partial N}\right)_{E}

で定義する（いずれも点 $(E_{\mathrm{tot}}, N_{\mathrm{tot}})$ で評価する）。このとき、 $E_i, N_i$ を固定して $N_R \to \infty$ とすると

\ln \Omega_R(E_{\mathrm{tot}} - E_i,\, N_{\mathrm{tot}} - N_i) = \ln \Omega_R(E_{\mathrm{tot}},\, N_{\mathrm{tot}}) - \beta\,(E_i - \mu N_i) + O(N_R^{-1})

が成り立つ。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。