ニュートンの運動方程式のガリレイ不変性

$N$ 個の質点からなる系を考え、質点 $i$ の質量を $m_i$、慣性系 $S$ における位置を $\boldsymbol{r}_i(t)$ とする。質点 $i$ に働く力が、質点間の相対位置ベクトルだけの関数

で与えられるとする。このとき、$S$ で運動方程式 $m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i = \boldsymbol{F}_i$ が成り立つならば、$S$ とガリレイ変換で結ばれた任意の慣性系 $S'$ においても、同じ関数 $\boldsymbol{F}_i$ を用いて $m_i \ddot{\boldsymbol{r}}\,'_i = \boldsymbol{F}_i(\boldsymbol{r}\,'_1 - \boldsymbol{r}\,'_2, \ldots)$ が成り立つ。