測地線

定義 2.3（「曲がった時空と重力」§2）

2 つの事象を結ぶ時間的曲線のうち、固有時 $\displaystyle\int d\tau$ を停留にするものを測地線という。オイラー–ラグランジュ方程式を書き下すと、固有時 $\tau$ をパラメータとして

\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0, \qquad \Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\nu}\bigl(\partial_\alpha g_{\nu\beta} + \partial_\beta g_{\nu\alpha} - \partial_\nu g_{\alpha\beta}\bigr)

となる。ここで $g^{\mu\nu}$ は $g_{\mu\nu}$ の逆行列、 $\partial_\alpha = \partial/\partial x^\alpha$ である。 $\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}$ をクリストッフェル記号という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。