球面調和関数

定義 3.3（「水素原子」§3）

$l = 0,1,2,\ldots$ と $m = -l, -l+1, \ldots, l$ に対し、

Y_l^m(\theta,\varphi) = (-1)^{m}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\;P_l^{m}(\cos\theta)\,e^{i m\varphi} \qquad (m \ge 0)

（ $m < 0$ には $Y_l^{-m} = (-1)^m \overline{Y_l^{m}}$ で定める）を球面調和関数と呼びます。ここで $P_l^m$ はルジャンドル陪関数

P_l^{m}(w) = (1-w^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dw^{m}}P_l(w), \qquad P_l(w) = \frac{1}{2^{l}\,l!}\frac{d^{l}}{dw^{l}}(w^{2}-1)^{l}

です。 $Y_l^m$ は単位球面上で正規直交します。

\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{2\pi} \overline{Y_{l}^{m}}\,Y_{l'}^{m'}\,\sin\theta\,d\varphi\,d\theta = \delta_{ll'}\delta_{mm'}

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。