$T^2$ の符号と $U$ の対称性

$T=UK$ について、$T^2=U\,KUK$ であり、$KUK$ は行列 $\bar U$ をもつ作用素である。したがって

1. $T^2$ は常にユニタリ（線形）である。
2. ある数 $\lambda$ について $T^2=\lambda\cdot1$ ならば $\lambda=\pm1$ であり、$\lambda=+1\iff U^{\mathsf T}=U$、$\lambda=-1\iff U^{\mathsf T}=-U$ である。
3. $\dim\mathcal{H}$ が有限で $T^2=-1$ となる反ユニタリ作用素 $T$ が存在するなら、$\dim\mathcal{H}$ は偶数である。
4. $T\mapsto e^{i\theta}T$ としても $T^2$ は変わらない。