スピンのない粒子の時間反転

命題 5.3（「対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退」§5）・ ✓公理まで証明済み

$L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の波動関数の複素共役 $(K\psi)(\boldsymbol{r})=\overline{\psi(\boldsymbol{r})}$ は反ユニタリで、 $K^2=1$ であり、

K\boldsymbol{r}K^{-1}=\boldsymbol{r},\qquad K\boldsymbol{p}K^{-1}=-\boldsymbol{p},\qquad K\boldsymbol{L}K^{-1}=-\boldsymbol{L}

を満たす。 $V$ が実数値のポテンシャルで $H=\boldsymbol{p}^2/2m+V(\boldsymbol{r})$ が自己共役なら、 $K$ は $H$ の時間反転対称性である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

反ユニタリ作用素の基本性質✓命題 3.2・対称性・Wigner の定理・時間反転と Kramers 縮退
- 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。