Klein のパラドックス

入射波 $(1,r)e^{ipx}$（$p=\sqrt{E^2-m^2}>0$、$r=p/(E+m)$）に対し、$x<0$ には反射波 $b\,(1,-r)e^{-ipx}$、$x>0$ には透過波 $c\,(1,r')e^{ip'x}$（$\varepsilon'=E-V_0$、$p'^2=\varepsilon'^2-m^2$、$r'=p'/(\varepsilon'+m)$）を置き、$x=0$ で $\psi$ が連続であるとする。透過波の電流が右向き（$r'>0$）となるように $p'$ の符号を選ぶ。このとき $\kappa=r'/r=\dfrac{p'}{p}\cdot\dfrac{E+m}{\varepsilon'+m}$ として、

である。(i) $V_0<E-m$ では $p'>0$、$\kappa>0$。(ii) $E-m<V_0<E+m$ では $|\varepsilon'|<m$ で $p'$ が純虚数になり、透過波は減衰して $R=1$。(iii) $V_0>E+m$ では $\varepsilon'<-m$ で $p'$ は実数となり（$p'<0$ のとき $r'>0$）、$\kappa>0$ で $T>0$ である。