量子力学のゲージ共変性

スカラー関数 $\chi(\boldsymbol{r},t)$ によるゲージ変換 $\boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A}+\nabla\chi$、$\phi'=\phi-\partial_t\chi$ に対して、$\psi$ が $i\hbar\partial_t\psi=H\psi$ を満たすことと、$\psi'=e^{iq\chi/\hbar}\psi$ が $\boldsymbol{A}',\phi'$ のハミルトニアン $H'$ について $i\hbar\partial_t\psi'=H'\psi'$ を満たすことは同値である。さらに $\boldsymbol{\pi}'\psi'=e^{iq\chi/\hbar}\boldsymbol{\pi}\psi$ であり、確率密度 $|\psi|^2$ と速度の期待値 $\langle\boldsymbol{\pi}\rangle/m$ はゲージによらない。