物理学 › 場の量子論 › 電磁場の量子化とゲージ固定

物理的状態のノルムの半正定値性

定理 5.4（「電磁場の量子化とゲージ固定」§5） ・ ✓公理まで証明済み

上の箱の設定で、Vphys={ψ∈D:L^kψ=0 (すべての k)}\mathcal V_{\mathrm{phys}}=\{\psi\in\mathcal D:\hat L_{\boldsymbol k}\psi=0\ (\text{すべての }\boldsymbol k)\} とします。

  1. 任意の ψ∈Vphys\psi\in\mathcal V_{\mathrm{phys}} は
ψ=χ⊗∣0⟩L+ψ0,ψ0=∑m≠0χm⊗(L^†)m∣0⟩L\psi=\chi\otimes|0\rangle_{\mathrm{L}}+\psi_0,\qquad \psi_0=\sum_{m\neq0}\chi_m\otimes\big(\hat L^\dagger\big)^m|0\rangle_{\mathrm{L}}

と一意に分解されます。ここで ∣0⟩L|0\rangle_{\mathrm L} は縦・時間成分の真空、m=(mk)m=(m_{\boldsymbol k}) は有限個を除いて 00 の非負整数の多重指数で (L^†)m=∏k(L^k†)mk(\hat L^\dagger)^m=\prod_{\boldsymbol k}(\hat L^\dagger_{\boldsymbol k})^{m_{\boldsymbol k}}、χ,χm∈DT\chi,\chi_m\in\mathcal D_{\mathrm T} で、和は有限和です。 2. ψ,ψ′∈Vphys\psi,\psi'\in\mathcal V_{\mathrm{phys}} を 1 のように分解すると ⟨ψ′∣ψ⟩=⟨χ′∣χ⟩T\langle\psi'|\psi\rangle=\langle\chi'|\chi\rangle_{\mathrm T} です。とくに

⟨ψ∣ψ⟩=⟨χ∣χ⟩T≥0\langle\psi|\psi\rangle=\langle\chi|\chi\rangle_{\mathrm T}\ge0

であり、等号は χ=0\chi=0 のとき、かつそのときに限り成り立ちます。 3. 零ノルム部分空間 V0\mathcal V_0 は 1 の ψ0\psi_0 の形の状態全体で、Vphys\mathcal V_{\mathrm{phys}} のすべての元と直交します。写像 ψ↦χ\psi\mapsto\chi は等長同型 Vphys/V0≅DT\mathcal V_{\mathrm{phys}}/\mathcal V_0\cong\mathcal D_{\mathrm T} を与えます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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