ワイルスピノルとディラックスピノル

$\mathbb{C}^2$ 上で $A\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ が $(A^\dagger)^{-1}$ として作用する表現 $(\tfrac12,0)$ の元を左巻きワイルスピノル $\psi_L$、$A$ として作用する表現 $(0,\tfrac12)$ の元を右巻きワイルスピノル $\psi_R$ と呼びます。その直和 $\psi = (\psi_L,\psi_R)^{\mathsf T}\in\mathbb{C}^4$ をディラックスピノルと呼び、$\psi\mapsto S(\Lambda)\psi$ と変換させます。ディラックスピノル場 $\psi(x)$ のローレンツ変換は

です。$\gamma^5$ の固有値 $\mp1$ の固有空間への射影 $P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$ が $\psi_L,\psi_R$ を取り出します。