場のオイラー・ラグランジュ方程式

定理 4.3（「古典場の理論とラグランジアン」§4）・ ✓公理まで証明済み

定義 4.1 の設定のもとで、場の配位 $\phi = (\phi_a)$ が次の意味で $S$ の停留点であるとします。すなわち、 $\Omega$ にコンパクトな台を持つ任意の $C^\infty$ 級関数の組 $\eta = (\eta_a)$ に対し

\left.\frac{d}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} S[\phi + \varepsilon \eta] = 0 .

このとき $\Omega$ 上で

\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi_a)} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_a} = 0 \qquad (a = 1, \dots, n)

が成り立ちます。逆に、この方程式系を満たす $\phi$ は上の意味で停留点です。ここで $\partial_\mu$ は $x$ についての全微分（ $\phi_a(x)$ を通じた依存性も込み）を表します。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。