作用の連続対称性（準不変性）

定義 6.1（「古典場の理論とラグランジアン」§6）

$\varepsilon$ を実パラメータとする滑らかな 1 パラメータ変換族

x^\mu \longmapsto x'^\mu = x^\mu + \varepsilon\, X^\mu(x) + O(\varepsilon^2), \qquad \phi_a(x) \longmapsto \phi'_a(x') = \phi_a(x) + \varepsilon\, F_a(x) + O(\varepsilon^2)

を考えます。ここで $X^\mu$ は $x$ の、 $F_a$ は $\phi_b(x)$ 、 $\partial_\mu\phi_b(x)$ および $x$ の滑らかな関数です。

ある $K^\mu$ （ $\phi_b$ 、 $\partial_\mu\phi_b$ 、 $x$ の滑らかな関数）が存在して、恒等式

\mathcal{L}\big(\phi'(x'),\, \partial' \phi'(x')\big)\ \det\!\left( \frac{\partial x'}{\partial x} \right) = \mathcal{L}\big(\phi(x),\, \partial\phi(x)\big) + \varepsilon\, \partial_\mu K^\mu + O(\varepsilon^2)

が任意の（運動方程式を満たすとは限らない）場の配位に対して成り立つとき、この変換族を作用の連続対称性と呼びます。 $K^\mu = 0$ の場合を厳密不変、一般の場合を準不変といいます。

左辺の因子 $\det(\partial x'/\partial x)$ は積分測度の変化 $d^4x' = \det(\partial x'/\partial x)\, d^4x$ を表しており、これを含めることで左辺は「変換後の理論の作用密度を元の座標で測ったもの」になります。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。