スペクトル微分行列の成分と固有値

定義 5.1 の $D$ について次が成り立つ。

1. $D_{jj} = 0$ で、$j \ne l$ のとき $$D_{jl} = \frac{(-1)^{j-l}}{2\sin\bigl((x_j - x_l)/2\bigr)}.$$
2. $D$ は実の歪対称行列（$D^{\mathsf T} = -D$）で、巡回行列である（$D_{jl}$ は $j - l$ を $N$ で割った余りだけで決まる）。
3. $\boldsymbol{v}_k = (e^{ikx_j})_{j=0}^{N-1}$（$|k| \le K$）は互いに直交する $D$ の固有ベクトルで、$D\boldsymbol{v}_k = ik\,\boldsymbol{v}_k$。$D$ の固有値は $ik$（$|k| \le K$）ですべてであり、$\|D\|_2 = K$。
4. 2 階微分の行列（$p''(x_j)$ を与える行列）は $D^2$ に等しく、実対称で、固有値は $-k^2$（$|k| \le K$）、スペクトル半径は $K^2 = (N-1)^2/4$ である。