$\Gamma_0(N)$ と重さ 2 の新形式

正整数 $N$ に対し

とおく。これは $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の指数有限の部分群である。定義 5.1 の条件 2 を $\Gamma_0(N)$ のすべての元について要求し、条件 3 を $\Gamma_0(N)$ のすべての尖点で要求したものを、重さ $k$・レベル $N$ のモジュラー形式といい、その空間を $M_k(\Gamma_0(N))$、すべての尖点で $0$ になるものの空間を $S_k(\Gamma_0(N))$ と書く。ここで $g = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対し $(f|_k g)(\tau) := (\gamma\tau+\delta)^{-k} f(g\cdot\tau)$ とおくと、「すべての尖点で正則」とは、すべての $g \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ について $f|_k g$ が $\sum_{n \ge 0} b_n e^{2\pi i n\tau/N}$（$\mathbb{H}$ 上で収束）と展開できることをいい、「すべての尖点で $0$」とはさらにすべての $g$ で $b_0 = 0$ となることをいう。

$S_2(\Gamma_0(N))$ にはヘッケ作用素 $T_n$ が作用する。$M \mid N$、$M \ne N$ なるレベル $M$ の形式から自明に作られる部分（旧部分）の直交補空間に属し、すべての $T_n$ の同時固有ベクトルで、$q$ 展開が $f = q + \sum_{n \ge 2} a_n q^n$ と正規化されているものを、レベル $N$ の**新形式（newform）**という。