Neyman–Pearson の補題

$0<\alpha<1$ とする。

1. 存在：$E_0\varphi_{k,\gamma}=\alpha$ をみたす $k,\gamma$ が存在する。
2. 最適性：$E_0\varphi=\alpha$ をみたす尤度比検定 $\varphi=\varphi_{k,\gamma}$ は、水準 $\alpha$ の（すなわち $E_0\psi\le\alpha$ の）任意の検定 $\psi$ に対し $E_1\psi\le E_1\varphi$ 、すなわち最強力検定（MP 検定）である。
3. 一意性：水準 $\alpha$ の任意の MP 検定 $\psi$ は、$\{f_1\ne kf_0\}$ 上で $\mu$-a.e. $\psi=\varphi$ をみたす。