Grassmann 多様体のアトラス

$\mathbb{R}^n=P\oplus Q$（$\dim P=k$）という直和分解に対し、$U_{P,Q}=\{V\in G_k(\mathbb{R}^n):V\cap Q=0\}$ とし、$V\in U_{P,Q}$ を $V=\{v+Lv:v\in P\}$（$L$ のグラフ）と書いたときの $L\in\operatorname{Hom}(P,Q)\cong\mathbb{R}^{k(n-k)}$ を $\varphi_{P,Q}(V)$ とする。このとき $\{(U_{P,Q},\varphi_{P,Q})\}$ は $C^\infty$ アトラスで、$G_k(\mathbb{R}^n)$ は $k(n-k)$ 次元の $C^\infty$ 多様体である。$k=1$ ではこのアトラスは 例 5.4 のアトラスを含む。