行列指数関数の基本性質

$A \in M_n(\mathbb{R})$ とする。

1. 級数 $\displaystyle e^{A} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}$ は絶対収束し、$\|e^A\| \le e^{\|A\|}$ を満たす。
2. 写像 $t \mapsto e^{tA}$ は $\mathbb{R}$ 上滑らかで、$\dfrac{d}{dt}e^{tA} = A e^{tA} = e^{tA}A$ が成り立つ。
3. $e^{(s+t)A} = e^{sA}e^{tA}$ であり、特に $e^{A}$ は可逆で $\bigl(e^{A}\bigr)^{-1} = e^{-A}$。