ベクトル空間

$K$ を体とする。集合 $V$ と、二つの写像

の組が次の 8 条件を満たすとき、$V$ を $K$ 上のベクトル空間（線形空間）といい、$V$ の元をベクトルという。以下、$\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}$ は $V$ の任意の元、$a, b$ は $K$ の任意の元とし、$a \cdot \boldsymbol{v}$ を $a\boldsymbol{v}$ と略記する。

• (V1) 加法の結合律: $(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) + \boldsymbol{w} = \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w})$
• (V2) 加法の交換律: $\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} + \boldsymbol{u}$
• (V3) 零ベクトルの存在: ある $\boldsymbol{0} \in V$ が存在して、すべての $\boldsymbol{v} \in V$ に対し $\boldsymbol{v} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{v}$
• (V4) 加法逆元の存在: 各 $\boldsymbol{v} \in V$ に対し、$\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}' = \boldsymbol{0}$ となる $\boldsymbol{v}' \in V$ が存在する
• (V5) ベクトルの和への分配律: $a(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = a\boldsymbol{u} + a\boldsymbol{v}$
• (V6) スカラーの和への分配律: $(a + b)\boldsymbol{v} = a\boldsymbol{v} + b\boldsymbol{v}$
• (V7) スカラー倍の結合律: $(ab)\boldsymbol{v} = a(b\boldsymbol{v})$
• (V8) 単位元の作用: $1\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}$（$1$ は $K$ の乗法単位元）