共役直径（Apollonius の定理）

楕円 $\mathcal{E}:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ と方向ベクトル $\boldsymbol d\ne\boldsymbol 0$ について、次が成り立つ。

1. $\boldsymbol d$ に平行な弦の中点は、すべて原点を通る直線 $\dfrac{d_1x}{a^2}+\dfrac{d_2y}{b^2}=0$ 上にある。
2. $P=(a\cos\theta,\ b\sin\theta)$ における接線は $\boldsymbol d_P=(-a\sin\theta,\ b\cos\theta)$ に平行で、$Q=(-a\sin\theta,\ b\cos\theta)$ も楕円上の点である。$\boldsymbol d_P$ に平行な弦の中点の軌跡は直線 $OP$ 上にある（$OP$ と $OQ$ を共役な半径という）。
3. $|OP|^2+|OQ|^2=a^2+b^2$、$\ |\det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ})|=ab$。すなわち、共役な半径の 2 乗の和と、それらが作る平行四辺形の面積は、$\theta$ によらない。