Wightman 公理と OS 公理（要約）

Wightman 公理（定義 3.2［Wightman 公理と再構成定理］）。組 $(\mathcal{H},U,\Omega,\{\phi_j\})$ が次を満たすこと。

• (W0) $\mathcal{H}$ は可分な Hilbert 空間、$U$ は Poincaré 群の強連続ユニタリ表現。
• (W1) スペクトル条件: 並進の生成子 $(H,\boldsymbol{P})$ の結合スペクトルは閉前方光錐 $\{p:p^0\ge|\boldsymbol{p}|\}$ に含まれる。とくに $H\ge0$。
• (W2) 真空: 単位ベクトル $\Omega$ は $U$ で不変で、並進で不変なベクトルは $\Omega$ のスカラー倍に限る。
• (W3) 場: 各 $\phi_j$ は、共通の稠密な不変定義域の上の作用素値緩増加超関数 $f\mapsto\phi_j(f)$。
• (W4) 共変性: $U(a,\Lambda)\phi_j(f)U(a,\Lambda)^{-1}$ は、$\phi_j$ のテンソルの型に応じた変換則で表される。
• (W5) 局所可換性: 台が空間的に離れた $f,g$ について $[\phi_i(f),\phi_j(g)]=0$。
• (W6) 巡回性: $\phi_{j_1}(f_1)\cdots\phi_{j_n}(f_n)\Omega$ の線形包は稠密。

OS 公理（定義 3.1［Euclid 場の理論と Osterwalder–Schrader 再構成］）。Schwinger 関数の列 $\{S_n\}$ が、(E0) 緩増加性と成長条件、(E1) Euclid 共変性、(E2) 反射正値性 $\sum_{n,m}S_{n+m}(\Theta f_n^*\otimes f_m)\ge0$（$f_n$ は正の時刻に台をもつ試験関数、$\Theta$ は時間反転と複素共役）、(E3) 対称性、(E4) クラスター性、を満たすこと。

再構成定理（定理 4.3［Euclid 場の理論と Osterwalder–Schrader 再構成］）。(E0)〜(E4) を満たす $\{S_n\}$ から、Wightman 公理を満たす理論がユニタリ同値を除いて一意に定まる。Hilbert 空間は反射正値性の定める内積の完備化、ハミルトニアン $H\ge0$ は時間方向の並進が誘導する縮小半群 $e^{-tH}$ の生成作用素である（定理 4.1［Euclid 場の理論と Osterwalder–Schrader 再構成］）。