適切な弱解・放物型円柱・特異点集合

$D\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$ を開集合、$\nu\gt0$ とする。

• $(u,p)$ が $D$ 上の適切な弱解（suitable weak solution）であるとは、$u\in L^\infty_tL^2_x\cap L^2_tH^1_x$、$p\in L^{3/2}$（いずれも $D$ のコンパクト部分集合の上で）であり、Navier–Stokes 方程式と $\operatorname{div}u=0$ を超関数の意味で満たし、さらに局所エネルギー不等式: すべての $\phi\in C_c^\infty(D)$、$\phi\ge0$ について

を満たすことをいう。

• $z=(x,t)$、$r\gt0$ に対し放物型円柱を $Q_r(z)=B_r(x)\times(t-r^2,t+r^2)$ とする。
• $E\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$、$k\ge0$、$\delta\gt0$ に対し $\mathcal{P}^k_\delta(E)=\inf\bigl\{\sum_ir_i^k:E\subset\bigcup_iQ_{r_i}(z_i),\ r_i\lt\delta\bigr\}$（可算個の円柱による被覆についての下限）、$\mathcal{P}^k(E)=\lim_{\delta\to0}\mathcal{P}^k_\delta(E)$ とおき、$k$ 次元の放物型 Hausdorff 測度という。
• 点 $z\in D$ は、ある近傍で $u$ が本質的に有界であるとき正則点、そうでないとき特異点という。特異点の全体を特異点集合 $S$ と書く。正則点の全体は開集合なので、$S$ は $D$ の中で閉じている。