Mermin–Wagner の定理（量子 Heisenberg 模型）

定理 3.4（「Mermin–Wagner の定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

定義 3.2 の設定で、すべての $\beta>0$ 、 $h\ne0$ 、 $L>2R$ について

m_L(\beta,h)^2\,\log\Bigl(1+\frac{\pi^2s^2j_2}{2s|h|+8\pi^2s^2j_2/L^2}\Bigr)\le8\pi\beta\,s^3(s+1)\,j_2 .

とくに

\limsup_{L\to\infty}|m_L(\beta,h)|\le\Bigl(\frac{8\pi\beta\,s^3(s+1)\,j_2}{\log\bigl(1+\pi^2sj_2/(2|h|)\bigr)}\Bigr)^{1/2}\xrightarrow[h\to0]{}0

であり、すべての $\beta>0$ で自発磁化 $m_{\mathrm{sp}}(\beta)$ は存在して $0$ に等しい。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。