数学 › Gibbs 測度と相転移の数理 › Mermin–Wagner の定理

二重交換子の計算

補題 3.3（「Mermin–Wagner の定理」§3） ・ ✓公理まで証明済み

C=Sk+C=S^+_k、D(k)=[C∗,[HΛ(h),C]]D(k)=[C^*,[H_\Lambda(h),C]]、SΛ3=∑xSx3S^3_\Lambda=\sum_xS^3_x とおくと、

  1. [C∗,C]=−2SΛ3[C^*,C]=-2S^3_\Lambda、
  2. D(k)+D(−k)=∑x∈Λ∑zJ(z)(1−cos⁡(k⋅z))(4Sx3Sx+z3+2Sx1Sx+z1+2Sx2Sx+z2)+4hSΛ3\displaystyle D(k)+D(-k)=\sum_{x\in\Lambda}\sum_zJ(z)\bigl(1-\cos(k\cdot z)\bigr)\bigl(4S^3_xS^3_{x+z}+2S^1_xS^1_{x+z}+2S^2_xS^2_{x+z}\bigr)+4hS^3_\Lambda、
  3. ∑k∈BL(C∗C+CC∗)=2∣Λ∣∑x∈Λ(s(s+1)−(Sx3)2)\displaystyle\sum_{k\in\mathcal{B}_L}\bigl(C^*C+CC^*\bigr)=2|\Lambda|\sum_{x\in\Lambda}\bigl(s(s+1)-(S^3_x)^2\bigr)。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件