数学 › Gibbs 測度と相転移の数理 › Mermin–Wagner の定理

有限体積の磁化の一様評価

系 4.7（「Mermin–Wagner の定理」§4） ・ ✓公理まで証明済み

N≥2N\ge2 とし、命題 4.5 の Λ\Lambda、ψ\psi と ψ(x0)=1\psi(x_0)=1 となる点 x0x_0 をとる。任意の単位ベクトル u∈RNu\in\mathbb{R}^N と境界条件 ω\omega について

∣γΛ(u⋅σx0∣ω)∣≤tanh⁡(βπ2EJ(ψ)4)≤βπ2EJ(ψ)4.\bigl|\gamma_\Lambda(u\cdot\sigma_{x_0}\mid\omega)\bigr|\le\tanh\Bigl(\frac{\beta\pi^2\mathcal{E}_J(\psi)}{4}\Bigr)\le\frac{\beta\pi^2\mathcal{E}_J(\psi)}{4}.

とくに d=2d=2、n>2Rn>2R、Λn={∥x∥<n}\Lambda_n=\{\|x\|<n\}、λ=log⁡(n/2R)\lambda=\log(n/2R) とすると

sup⁡ω∈Ω∣γΛn(u⋅σ0∣ω)∣≤βπ2R2∥J∥1(15+8λ)2λ2→n→∞0.\sup_{\omega\in\Omega}\bigl|\gamma_{\Lambda_n}(u\cdot\sigma_0\mid\omega)\bigr|\le\frac{\beta\pi^2R^2\|J\|_1(15+8\lambda)}{2\lambda^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。