物理学 › 一般相対性理論 › 宇宙論

定曲率な 3 次元空間の計量

定理 2.2（「宇宙論」§2） ・ ✓公理まで証明済み

3 次元 Riemann 多様体 (Σ,γ)(\Sigma,\gamma) が点 OO のまわりで球対称で、曲率が上のとおり定数 KK の形であるとする。OO からの固有距離を χ\chi とすると、OO の近傍で

γ=dχ2+SK(χ)2 dΩ2,SK(χ)={sin⁡(Kχ)/KK>0χK=0sinh⁡(−Kχ)/−KK<0\gamma=d\chi^2+S_K(\chi)^2\,d\Omega^2,\qquad S_K(\chi)=\begin{cases}\sin(\sqrt K\chi)/\sqrt K & K>0\\ \chi & K=0\\ \sinh(\sqrt{-K}\chi)/\sqrt{-K} & K<0\end{cases}

と書ける。ここで dΩ2=dθ2+sin⁡2θ dφ2d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2 である。r=SK(χ)r=S_K(\chi) とおけば同じ計量は dr21−Kr2+r2dΩ2\dfrac{dr^2}{1-Kr^2}+r^2d\Omega^2 になる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件