下に有界な閉二次形式

稠密な部分空間 $Q(q)\subset\mathcal{H}$ 上の写像 $q: Q(q)\times Q(q)\to\mathbb{C}$ が第 1 変数について共役線形、第 2 変数について線形であるとき、$q$ を二次形式（半双線形形式）といい、$Q(q)$ を形式定義域という。$q(\varphi,\psi)=\overline{q(\psi,\varphi)}$ のとき対称という。対称な $q$ が下に有界であるとは、ある $M\ge 0$ についてすべての $\psi\in Q(q)$ で $q(\psi,\psi)\ge -M\|\psi\|^2$ となることをいう。このとき

は $Q(q)$ 上のノルムで、$Q(q)$ がこのノルムで完備なとき $q$ は閉であるという。$q$ が閉形式に拡張できるとき閉包可能といい、最小の閉拡大を閉包 $\bar{q}$ という。閉形式 $q$ に対し、$\|\cdot\|_{+1}$ で $Q(q)$ において稠密な部分空間を形式芯という。