コンパクト作用素

$X, Y$ を Banach 空間とする。線形写像 $K: X\to Y$ がコンパクトであるとは、$X$ の閉単位球の像 $K(\{\|x\|\le1\})$ が $Y$ で相対コンパクト（閉包がコンパクト）であることをいう。同値な言い換えとして、$X$ の任意の有界列 $(x_n)$ に対し、$(Kx_n)$ が $Y$ で収束する部分列をもつ。コンパクト作用素の全体を $\mathcal{K}(X,Y)$、$\mathcal{K}(X) = \mathcal{K}(X,X)$ と書く。