ノルム位相・強位相・弱位相

$\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 上に次の 3 つの位相を考える。

• ノルム位相（一様位相）: 作用素ノルム $\|A\|$ による距離位相。
• 強作用素位相: 半ノルムの族 $\{A\mapsto\|Ax\| : x\in\mathcal{H}\}$ が定める局所凸位相。
• 弱作用素位相: 半ノルムの族 $\{A\mapsto|\langle y, Ax\rangle| : x, y\in\mathcal{H}\}$ が定める局所凸位相。

ネット $(A_\alpha)$ が $A$ に収束することは、それぞれ $\|A_\alpha - A\|\to0$、全 $x$ で $\|(A_\alpha - A)x\|\to0$、全 $x, y$ で $\langle y, (A_\alpha - A)x\rangle\to0$ を意味する。強・弱位相での極限を $\mathrm{s\text{-}lim}$, $\mathrm{w\text{-}lim}$ と書く。