形状作用素・第二基本形式・Gauss 曲率

定義 4.1（「曲線と曲面」§4）

点 $p$ で、接平面から接平面への線形写像 $A_p=-dN_p:T_pS\to T_pS$ を形状作用素（Weingarten 写像）という。 $A_p$ は自己随伴である。第二基本形式を $II(w,w')=\langle A_pw,w'\rangle$ 、

h_{ij}=\langle N,x_{ij}\rangle\quad(x_{ij}=\partial_i\partial_jx),\quad L=h_{11},\ M=h_{12},\ N_{\!*}=h_{22}

とおく。 $A_p$ の固有値 $\kappa_1,\kappa_2$ を主曲率、

K=\det A_p=\kappa_1\kappa_2,\qquad H=\tfrac12\operatorname{tr}A_p=\tfrac12(\kappa_1+\kappa_2)

を Gauss 曲率と平均曲率という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。