円柱 Z の光円錐

補題 5.2（「因果階層」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X=a\partial_t+b\partial_\theta\ne0$ （点 $(t,\theta)$ ）が未来向き因果的であることは $b\ge0$ かつ $2a+h(t)b\le0$ と同値で、未来向き時間的であることは $b\gt0$ かつ $2a+h(t)b\lt0$ と同値である。
未来向き因果的曲線に沿って $\tilde\theta$ は単調非減少、 $t$ は単調非増加で、 $h(t)\,d\tilde\theta/ds\le-2\,dt/ds$ を満たす。 $t\ne0$ の点では $dt/ds\lt0$ である。未来向き時間的曲線に沿っては $\tilde\theta$ は狭義増加、 $t$ は狭義減少である。
$\theta\mapsto(0,\theta)$ は未来向きのヌル曲線で、 $C$ は閉じた因果的曲線である。
$t_1\lt t_0$ 、 $L\gt0$ で $2(t_1-t_0)+\max\{h(t_0),h(t_1)\}L\lt0$ ならば、線分 $s\mapsto(t_0+s(t_1-t_0),\ \tilde\theta_0+sL)$ （ $0\le s\le1$ ）は未来向き時間的である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。