平均場理論（Weiss の分子場）

定理 4.2（「磁性」§4）・ ✓公理まで証明済み

試行パラメータ $\lambda$ をスピンあたりの磁化 $m=\langle\sigma_i\rangle_0=\tanh\beta\lambda$ で表すと、Ising 模型の自由エネルギー（スピンあたり）の変分上界は

f_{\mathrm{MF}}(m)=-\frac{zJ}2m^2-hm-k_BT\,s(m),\qquad s(m)=-\frac{1+m}2\ln\frac{1+m}2-\frac{1-m}2\ln\frac{1-m}2

で与えられる。 $f_{\mathrm{MF}}$ を最小にする $m$ は自己無撞着方程式

m=\tanh\!\left[\beta\left(zJm+h\right)\right]

を満たす。 $h=0$ では、この方程式は

$T\ge T_c:=zJ/k_B$ のとき解 $m=0$ のみをもち、
$T<T_c$ のとき $m=0$ のほかに、ちょうど 1 対の解 $\pm m^*(T)$ ( $m^*>0$ ) をもち、 $f_{\mathrm{MF}}$ を最小にするのは $\pm m^*$ である。

$T\to T_c^-$ では $m^*\simeq\sqrt3\,(1-T/T_c)^{1/2}$ 。 $T>T_c$ の磁化率 $\chi=\partial m/\partial h|_{h\to0}$ は Curie–Weiss 則

\chi=\frac1{k_B(T-T_c)}

に従う。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 22 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。