孤立特異点とその分類

$f$ が穴あき円板 $D(a,R)\setminus\{a\}$ 上で正則であるとき、$a$ を $f$ の孤立特異点という。この領域は $r_1 = 0$、$r_2 = R$ の円環領域なので 定理 6.1 が使え、ローラン展開 $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_n(z-a)^{n}$ が定まる。負べきの部分 $\sum_{n\le-1}c_n(z-a)^{n}$ を主要部と呼び、次のように分類する。

• $c_n = 0$（すべての $n \le -1$）のとき、$a$ を除去可能特異点という。
• ある $m \ge 1$ について $c_{-m}\ne0$ かつ $c_n = 0$（$n < -m$）のとき、$a$ を位数 $m$ の極という。
• $c_n \ne 0$ となる $n \le -1$ が無限個あるとき、$a$ を真性特異点という。

また $c_{-1}$ を $f$ の $a$ における留数と呼び $\operatorname{Res}(f,a)$ と書く。定理 6.1 の係数公式で $n=-1$ とすると $\int_{C(a,\rho)}f(z)\,dz = 2\pi i\operatorname{Res}(f,a)$ となり、これが留数定理の芽である（定義 4.1［留数定理と定積分への応用］、留数定理と定積分への応用）。