群・アーベル群

集合 $G$ とその上の二項演算 $\cdot$ の組 $(G, \cdot)$ が群であるとは、次の三つが成り立つことをいいます。

• (G1) 結合法則：すべての $a, b, c \in G$ に対して $(ab)c = a(bc)$。
• (G2) 単位元の存在：ある $e \in G$ が存在して、すべての $a\in G$ に対して $ea = ae = a$。
• (G3) 逆元の存在：(G2) の $e$ に対し、すべての $a\in G$ に対して、ある $b\in G$ が存在して $ab = ba = e$。

さらに

• (G4) 可換法則：すべての $a,b\in G$ に対して $ab = ba$

が成り立つとき、$G$ をアーベル群（可換群）といいます。$G$ が有限集合のとき $G$ を有限群といい、その元の個数 $|G|$ を $G$ の位数と呼びます。