情報科学 › AI時代の生存戦略 › 数学を学び直す意義

勾配降下法の収束（凸・L-平滑の場合）

定理 4.3（「数学を学び直す意義」§4） ・ ✓公理まで証明済み

f:Rn→Rf:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} は微分可能な凸関数で LL-平滑とし、最小値 f∗=f(x∗)f^{*} = f(\boldsymbol{x}^{*}) を達成する点 x∗\boldsymbol{x}^{*} が存在するとする。学習率 η=1/L\eta = 1/L で xk+1=xk−η∇f(xk)\boldsymbol{x}_{k+1} = \boldsymbol{x}_k - \eta\nabla f(\boldsymbol{x}_k) と定めると、すべての K≥1K \ge 1 に対し

f(xK)−f∗≤L∥x0−x∗∥22Kf(\boldsymbol{x}_K) - f^{*} \le \frac{L\|\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{x}^{*}\|^2}{2K}

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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