基底から位相を作る

命題 5.2（「位相空間の定義と基本概念」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を集合、 $\mathcal{B}\subseteq\mathfrak{P}(X)$ が次の 2 条件を満たすとします。

(B1) $\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X$ 。すなわち任意の $x\in X$ に対し $x\in B$ なる $B\in\mathcal{B}$ が存在する。
(B2) 任意の $B_1,B_2\in\mathcal{B}$ と任意の $x\in B_1\cap B_2$ に対し、ある $B_3\in\mathcal{B}$ が存在して $x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$ となる。

このとき

\mathcal{O}_{\mathcal{B}}=\{\,U\subseteq X \;:\; \forall x\in U,\ \exists B\in\mathcal{B},\ x\in B\subseteq U\,\}

は $X$ 上の位相であり、 $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{O}_{\mathcal{B}}$ かつ $\mathcal{B}$ は $\mathcal{O}_{\mathcal{B}}$ の基底です。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。