有向集合・ネット・収束・集積点

空でない集合 $\Lambda$ 上の二項関係 $\le$ が反射律と推移律を満たし、さらに任意の $\lambda, \mu \in \Lambda$ に対し $\lambda \le \nu$ かつ $\mu \le \nu$ なる $\nu \in \Lambda$ が存在するとき、$(\Lambda, \le)$ を有向集合という。有向集合 $\Lambda$ から位相空間 $X$ への写像 $\lambda \mapsto x_\lambda$ をネットといい、$(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ と書く。

1. ネットが $x \in X$ に収束する（$x_\lambda \to x$）とは、$x$ の任意の近傍 $U$ に対し、ある $\lambda_0 \in \Lambda$ が存在して、$\lambda \ge \lambda_0$ なるすべての $\lambda$ で $x_\lambda \in U$ となることをいう。
2. $x$ がネットの集積点であるとは、$x$ の任意の近傍 $U$ と任意の $\lambda_0 \in \Lambda$ に対し、$\lambda \ge \lambda_0$ かつ $x_\lambda \in U$ となる $\lambda$ が存在することをいう。