フィルター・超フィルター・収束

$X$ を集合とする。$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ が $X$ 上のフィルターであるとは、次を満たすことをいう。

1. $X \in \mathcal{F}$ かつ $\emptyset \notin \mathcal{F}$。
2. $A, B \in \mathcal{F}$ ならば $A \cap B \in \mathcal{F}$。
3. $A \in \mathcal{F}$ かつ $A \subseteq B \subseteq X$ ならば $B \in \mathcal{F}$。

包含に関して極大なフィルターを超フィルターという。$X$ が位相空間のとき、フィルター $\mathcal{F}$ が $x \in X$ に収束する（$\mathcal{F} \to x$）とは、$\mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F}$、すなわち $x$ の近傍がすべて $\mathcal{F}$ に属することをいう。