小さい帰納的次元・大きい帰納的次元

位相空間 $X$ に対し、$\operatorname{ind}X$ と $\operatorname{Ind}X$ を次のように帰納的に定めます。ただし $\partial V$ は $V$ の $X$ における境界を部分空間として見たものです。

• $\operatorname{ind}X=-1$、$\operatorname{Ind}X=-1$ であることは、それぞれ $X=\emptyset$ と同値と定める。
• $n\ge0$ について、$\operatorname{ind}X\le n$ であるとは、任意の点 $x\in X$ と $x$ の任意の開近傍 $U$ に対し、開集合 $V$ で $x\in V\subseteq U$ かつ $\operatorname{ind}\partial V\le n-1$ となるものが存在することをいう。
• $n\ge0$ について、$\operatorname{Ind}X\le n$ であるとは、任意の閉集合 $F$ とそれを含む任意の開集合 $U$ に対し、開集合 $V$ で $F\subseteq V\subseteq U$ かつ $\operatorname{Ind}\partial V\le n-1$ となるものが存在することをいう。

$\operatorname{ind}X\le n$ となる最小の $n$ を $\operatorname{ind}X$ とします（$\operatorname{Ind}X$ も同様）。