ルジャンドル変換

$I \subset \mathbb{R}$ を開区間、$f: I \to \mathbb{R}$ を $C^2$ 級で、すべての $x \in I$ で $f''(x) > 0$（狭義凸）とする。$J := f'(I)$ とおく。$f'$ は狭義単調増加だから $f' : I \to J$ は全単射で、その逆写像を $x(\cdot) : J \to I$ と書く。このとき $J$ 上の関数

を $f$ のルジャンドル変換と呼ぶ。