1 次元イジング模型の自由エネルギーと磁化

定理 6.1（「相転移と平均場理論」§6）・ ✓公理まで証明済み

(i) $Z_N=\mathrm{Tr}\,T^N=\lambda_+^N+\lambda_-^N$ で、 $T$ の固有値は

\lambda_\pm=e^{\beta J}\cosh\beta h\pm\sqrt{e^{2\beta J}\sinh^2\beta h+e^{-2\beta J}},\qquad\lambda_+>\lambda_->0.

(ii) 熱力学的極限 $N\to\infty$ で、1 スピンあたりの自由エネルギーは $f(T,h)=-k_{\mathrm B}T\ln\lambda_+$ 、磁化は

m(T,h)=-\frac{\partial f}{\partial h}=\frac{\sinh\beta h}{\sqrt{\sinh^2\beta h+e^{-4\beta J}}}

である。

(iii) $T>0$ では $\lim_{h\to0}m(T,h)=0$ 、すなわち自発磁化は存在しない。 $f(T,h)$ は $T>0$ のすべての $h$ で解析的で、相転移はない。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。